Inverse Probleme

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellen Streuprobleme dar: hier wird die Streuung von Schallwellen oder elektromagnetischen Wellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form oder die elektrischen Eigenschaften des Objekts, auf die man schließen möchte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Dabei modelliert eine Abbildung F: X --> Y das direkte Problem, d.h. wie die URSACHE die WIRKUNG impliziert. Die Mengen X und Y beinhalten die Ursachen (Parameter) bzw. die Wirkungen (Daten). Das inverse Problem lautet nun: finde zu gegebenem y aus Y ein x aus X, so daß F(x)=y ist. Eine besondere Herausforderung bei inversen Problemen ist ihre inhärente Schlechtgestellheit: kleine Änderungen in y (z.B. Meßrauschen, Rundungsfehler) ziehen große Änderungen in x nach sich (die inverse Abbildung zu F ist unstetig). Diese Fehlerverstärkung muß im Lösungsprozeß durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert, d.h. stabilisiert werden.